Hier für all diejenigen, die sich schon mal ernsthaft mit Mathematik auseinandergesetzt haben und über mathematische Denkweisen schmunzeln können, ein wahrlich zeitloser Klassiker:

Wie fängt man einen Löwen in der Wüste?

Das Einfangen von Löwen in der Wüste ist ein schönes Beispiel anwendungsnaher Mathematik, in das sogar physikalische Aspekte hineinspielen. Ich gebe daher zum Nutzen des Lesers eine Zusammenstellung wieder, die ihm bei diesem, im täglichen Leben so häufig auftretenden Problem, einige Leitlinien zur Lösungsfindung vermittelt.

I. MATHEMATISCHE METHODEN

1. Die Hilbertsche oder axiomatische Methode.

Man stellt eine Käfig in die Wüste und führt folgendes Axiomensystem ein:
[A1] Die Menge der Löwen in der Wüste ist nicht leer.
[A2] Sind Löwen in der Wüste, so ist auch ein Löwe im Käfig.

Wir kennen alle folgende Schlußregel: Ist P ein richtiger Satz, und gilt “wenn P, so Q”, so ist auch Q ein richtiger Satz.
Daher erhalten wir ohne weiteres Zutun den folgenden

Satz: Es ist ein Löwe im Käfig.

2. Die geometrische Methode.

Man stelle einen zylindrischen Käfig in die Wüste. Dann gibt es zwei Fälle:

1. Fall: Der Löwe ist im Käfig. Dieser Fall ist trivial.
2. Fall: Der Löwe ist außerhalb des Käfigs. Dann stelle man sich in den Käfig und mache eine Inversion an den Käfigwänden. Auf diese Weise gelangt der Löwe in den Käfig und man selbst nach draußen.
Achtung: Bei Anwendung dieser Methode ist dringend darauf zu achten, daß man sich nicht auf den Mittelpunkt des Käfigbodens stellt, da man sonst im Unendlichen verschwindet!

3. Die Projektionsmethode.

Ohne Beschränkung der Allgemeinheit nehmen wir an, die Wüste sei eine Ebene. Wir projizieren sie auf eine Gerade durch den Käfig, und danach die Gerade auf einen Punkt im Käfig. Damit gelangt der Löwe in den Käfig.

4. Die Bolzano-Weierstraß-Methode.

Wir halbieren die Wüste in Nord-Süd-Richtung durch eine Zaun. Dann ist der Löwe entweder im östlichen oder im westlichen Teil der Wüste. Nehmen wir an, er befindet sich im westlichen Teil. Daraufhin halbieren wir diesen westlichen Teil durch einen weiteren Zaun in Ost-West-Richtung. Der Löwe ist nun im nördlichen oder im südlichen Teil. Wir nehmen an, er ist im nördlichen. Auf diese Weise fahren wir fort. Der Durchmesser der Teile, die bei dieser Halbierung entstehen, strebt gegen Null. Auf diese Weise wird der Löwe schließlich von einem Zaun beliebig kleinen Umfangs eingegrenzt.

5. Die mengentheoretische Methode.

Die Punkte der Wüste lassen sich wohlordnen. Ausgehend vom kleinsten Element erwischt man den Löwen durch transfinite Induktion.

Bemerkung . Diese Methode ist in Fachkreisen umstritten wegen der Verwendung des Wohlordnungssatzes bzw. des Auswahlaxioms. Wie so oft, hat auch die vorliegende Fragestellung zu einer fruchtbaren Entwicklung beführt. Dabei wurde schließlich eine sehr viel einfachere Methode entdeckt, die den genannten Mangel nicht aufweist: Man betrachte alle Teilmengen der Wüste, die den Löwen enthalten, und bilde deren Durchschnitt. Er enthält als einziges Element den Löwen.

6. Die funktionalanalytische Methode.

Die Wüste bildet einen separablen Raum. Sie enthält daher eine abzählbar dichte Menge, aus der eine Folge ausgewählt werden kann, die gegen den Löwen konvergiert. Mit einem Käfig auf dem Rücken springen wir von Punkt zu Punkt dieser Folge und nähern uns so dem Löwen beliebig genau.

7. Die Peano-Methode.

Man konstruiere eine Peanokurve durch die Wüste, d.h. eine stetige Kurve, die durch jeden Punkt der Wüste geht. Es ist gezeigt worden, daß man eine solche Kurve in beliebig kurzer Zeit durchlaufen kann. Mit dem Käfig unter dem Arm durchlaufe man also die Kurve in kürzerer Zeit, als der Löwe benötigt, sich um seine eigene Länge fortzubewegen.

8. Die topologische Methode.

Der Löwe kann topologisch als Torus aufgefaßt werden. Man transportiere die Wüste in den vierdimensionalen Raum. Es ist nun möglich, die Wüste so zu deformieren, daß beim Rücktransport in den dreidimensionalen Raum der Löwe verknotet ist. Dann ist er hilflos.

9. Die Cauchysche oder funktionentheoretische Methode.

Wir betrachten eine reguläre löwenwertige Funktion f auf der Wüste. Der Käfig stehe im Punkt z der Wüste. Man bildet dann das Integral

           

wobei C der Rand der Wüste ist. Der Wert des Integrals ist bekanntlich f(z), also ist ein Löwe im Käfig.

10. Die Banachsche oder iterative Methode.

Sei f: W -> W eine Kontraktion der Wüste W in sich, x sei ihr Fixpunkt. Auf diesen Fixpunkt stellen wir den Käfig. Durch sukzessive Iteration
   W[n+1] = f(W[n])     n = 0, 1, 2, 3, ...
wird die Wüste auf den Fixpunkt zusammengezogen. So gelangt der Löwe in den Käfig.

11. Die Kompaktheitsmethode.

Die Wüste können wir ohne Einschränkung als kompakt voraussetzen. Man überdecke sie mit einer Familie von Käfigen { K[i] : i e I }. Dann gibt es unter ihnen wegen der Kompaktheit endliche viele Käfige K[i[1]], ..., K[i[n]], die bereits die ganze Wüste überdecken. Die Durchmusterung dieser Käfige auf sich darin befindliche Löwen wird als Staatsexamesarbeit vergeben.

Bemerkung . Diese Methode hat den Nachteil, daß man zur Ausnutzung der Kompaktheit eigentlich offene Käfige verwenden muß.

12. Die logische Methode oder Methode des “Tertium non datur”.

Man stelle einen offenen Käfig in die Wüste und lege ein Brett mit Leim daneben. Beiden biete man dem Löwen zum Betreten an. Der Löwe sagt dann: “Nein, auf den Leim gehe ich nicht!”. Nach dem “Tertium non datur” muß er in der Käfig gehen. Danach schlägt man die Tür zu.

13. Die stochastische Methode.

Man benötigt dazu ein Laplace-Rad, einige Würfel und eine Gaußsche Glocke. Mit dem Laplce-Rad fährt man in die Wüste und wirft mit den Würfeln nach dem Löwen. Kommt er dann wutschnaubend angerannt, so stülpt man die Gauß-Glocke über ihn. Unter ihr ist er mit der Wahrscheinlichkeit 1 gefangen.

14. Die didaktische Methode.

Man nähere sich dem Löwen auf der Brunerschen Spirale. Dann elementarisiere man den Löwen zu einer Katze und fange ihn mit einer Schale Milch.

II. PHYSIKALISCHE METHODEN

15. Die Newtonsche Methode
.

Käfig und Löwe ziehen sich durch die Gravitationskraft an. Wir vernachlässigen die Reibung. Auf diese Weise werden Käfig und Löwe aufeinander zu beschleunigt, und so muß der Löwe früher oder später im Käfig landen.


16. Die Heisenbergsche Methode.

Ort und Geschwindigkeit eines bewegten Löwen lassen sich nicht gleichzeitig bestimmen. Da bewegte Löwen also keinen physikalisch sinnvollen Ort in der Wüste einnehmen, kommen sie für die Jagd auch nicht in Frage. Die Löwenjagd kann sich daher nur auf ruhende Löwen beschränken. Das Einfangen eines ruhenden, bewegungslosen Löwen wird dem Leser als Übungsaufgabe überlassen.


17. Die Schrödinger-Methode.

Die Wahrscheinlichkeit dafür, daß sich ein Löwe zu einem beliebigen Zeitpunkt im Käfig befindet, ist echt größer als Null. Man stelle sich vor den Käfig und warte.

Bemerkung. Hierbei wird üblicherweise vorausgesetzt, daß der Käfig offen ist und man ihn zuschlagen muß, wenn der Löwe drin ist. Aufgrund des Tunneleffektes kann man aber den Käfig auch zulassen. Auf diese Weise kann man bei der elenden Warterei auch mal weggehen und ein Bierchen trinken. Aber nicht zu lange! Denn kluge Löwen, die den Tunneleffekt verstanden haben, verschwinden auch wieder!


18. Die Einsteinsche oder relativistische Methode.

Man überfliege die Wüste nahezu mit Lichtgeschwindigkeit. Durch die relativistische Längenkontraktion wird der Löwe flach wie Papier. Man greife ihn, rolle ihn auf und mache ein Gummiband herum.


Bemerkung. Wir haben uns hier auf physikalische Methoden beschränkt, die der Mathematik nahe stehen. Weitere Methoden, insbesondere experimentalphysikalische, findet der Leser in der verdienstvollen Abhandlung von H. Pétard, wie z.B. das Arbeiten mit halbdurchlässigen Membranen, die alles außer Löwen durchlassen. Mit ihnen siebe man die Wüste durch. Auf eine schmerzliche Lücke wies jedoch H. Schubert hin, der bemerkte, daß in all den beschriebenen Methoden die Existenz mindestens eines Löwen vorausgesetzt wurde. Wie jeder Mathematiker weiß, sind aber die Existenzprobleme häufig die haarigsten. Schubert ist nicht der Mann, der auf halbem wege stehen bleibt. Er teilt daher die folgende Strategie mit, welche diese Lücke schließt:


19. Die dialektische Methode.

Man zäunt die Wüste ein, bewässert sie, sät Gras und setzt Kaninchen aus. Die Kaninchen vermehren sich schnell. Nach Hegel kommt daher der Zeitpunkt, bei dem Quantität in Qualität umschlägt, und dann hat man einen Löwen.


All diese Methoden stammen, wie Volksmärchen, aus dem Sagenschatz mathematischer Institute und werden auf Tagungen immer weiter erzählt, in der Hoffnung, daß insbesondere die Jugend sich dieses aufstrebenden Gebietes annehmen möchte.

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